类群 (Class Group)

出发点, 见: cryptography in blockchain space 中的 GUO 部分

两种角度

• ideal class group (imaginary quadratic field)
  • 为什么选择这个判别式
• form class group (binary quadratic form)
  • 易于表示和计算

具有相同判别式

背后其实是同一个东西。(不过这句话其实只有 $\Delta < 0$ 且 $f(a, b, c)$ positive definite 时才成立。)

选择 & 构造 & 计算

$K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$, d 是个 负 prime (选用 prime 可以方便 composition) & square free。

• if $d \equiv 1\ mod\ 4$, field discriminant $d_K = d$,
• if $d \not\equiv 1\ mod\ 4$, field discriminant $d_K = 4d$. (因为 d 是 square free，所以 d 只可能 $d \equiv 2\ mod\ 4$ 或 $d \equiv 3\ mod\ 4$, 而且这里 $d_K \equiv 0\ mod\ 4$)

分 $d \equiv 1\ mod\ 4$ 和 $d\equiv 2, 3\ mod\ 4$ 两种情况是因为 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的整数环 在$d \equiv 1\ mod\ 4$ 时为 {$a + b\frac{1+\sqrt{d}}{2}$}，在 $d\equiv 2, 3\ mod\ 4$ 时 为 {$a + b\sqrt{d}$}。

$d_K$ 应该只会 $d_K \equiv 0\ mod\ 4$ 或 $d_K \equiv 1\ mod\ 4$, 因为只有 0 和 1 是 mod 4 的二次剩余 (quadratic residue)。

$d_K$ 是对于 imaginary quadratic field $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 来说的，对于 binary quadratic form 来说，即 $f(a, b, c) = ax^2 + bxy + cy^2$ 的判别式 (discriminant) $\Delta = b^2 - 4ac$。

为了方便我们直接选 $d = -prime = 1\ mod\ 4 = \Delta = -3\ mod\ 4$, 那么也就是 $prime = 3\ mod\ 4 = |d|$。不然我们还要 确保 $\Delta / 4$ 是 square free 的。

然后就可以进行计算了，Chia 的文档中给出了比较具体的计算方法。

class group 的具体结构和计算也可参考：

• Class groups for imaginary quadratic fields
• The Structure of the Class Group of Imaginary Quadratic Fields, Nicole Miller
  • 从解释了 primitive 和 fundamental 角度解释了 为什么分 $d_K = d$ 和 $d_K = 4d$
    • primitive: gcd = 1
• On the computation of quadratic 2-class groups, Wieb Bosma & Peter Stevenhagen
• gauss’s ternary form reduction and the 2-sylow subgroup, Daniel Shank
• Eta quotients and class fields of imaginary quadratic fields, Jana Sotáková
• Algebraic Number Theory

TODOs

• Concrete groups discussions （BBF18 & Wes19）
• mod 4 什么的，和 sloth 很像，和 squaring 有关？可以谈谈.
  • sloth 中的 square roots

further reading

• https://www.michaelstraka.com/posts/classgroups
• https://hackmd.io/@olivierbbb/r10VpNPZU